文学作品中的数学原理——愚公移山

　　太行、王屋两座大山，四面各七百里，高达七八千丈。北山脚下有个叫愚公的人，进进出出都要绕远路。愚公于是带领三个能挑担子的子孙，凿石头，挖泥土，用箕畚运送到渤海的边上。邻居姓京城的寡妇有个孤儿，刚七八岁，蹦蹦跳跳去帮助他们。冬夏换季，才往返一次呢。河曲的智叟讥笑着阻止愚公说：“你太不聪明了。凭你的余年剩下的力气，还不能毁掉山上的一根草，又能把泥土和石头怎么样？”北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽固到不能改变的地步，还不如寡妇和弱小的孩子。即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子；子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增加高度，为什么愁挖不平？”河曲智叟没有话来回答。天帝被他的诚心感动，命令夸娥氏的两个儿子背走了两座山。一座放在朔方的东部，一座放在雍州的南面。 

　　这个故事从前也和别的普通寓言一般，鲜为人知。自从毛泽东主席在一次讲话中，提到了这个故事后，就变得家喻户晓。愚公回答智叟的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列。 

　　设愚公的儿子，即第一代的人数为a1； 

　　愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a2； 

　　孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a3； 

　　一般地，第n代子孙的人数为an。 

　　这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列 

　　a1，a2，a3，an， (1) 

　　这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态。这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质。可惜我们没有任何资料来确定(1)的具体数字。如果一对夫妇只生两个孩子(假设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列： 

　　An+1=2an (2) 

　　如果愚公有3个儿女，即a1=3，就得到下面这个数列： 

　　3，6，12，24，48，96， (3) 

　　由数列(3)，人们就可能联想到天文学史上一个有趣的事实。 

　　德国数学家蒂特乌斯1766年宣布了他发现的一个规则，这个规则确定各个行星与太阳之间递次距离的关系。几年之后，法国数学家博德认识到这一规则的重大意义，引起了人们对蒂特乌斯这一发现的充分肯定和重视。此后，这一规则便被称为博德定律。 

　　让我们先看看下面这个表，然后再研究它的构造法则： 

　　博德推算出的距离，依据的定律就是以数列(3)为基础的。如果对数列(3)的每一项都加上4，便得到表中博德推算的距离： 

　　4，7，10，16，28，52，100，… (4) 

　　所以，数列(3)便是用以确定各行星与太阳之间的相对距离的博德定律。 

　　你大概注意到了，表中博德距离为28的位置没有行星，你也大概知道，在土星之外还有别的行星。这是因为在博德定律刚提出来的时候，人们还只发现了表中所列举的那些行星。1871年，威廉·赫歇尔发现了天王星，它与太阳的实际距离为192，基本上符合博德定律(按博德的推算为196)。这使得天文学家为找不到与博德推算的距离为28的行星而焦虑不安。到了1801年，人们终于在火星和木星的轨道之间，发现了第一颗也是最大的一颗小行星，它与太阳的实际距离为27.6，与28非常接近。按照博德定律继续推算下去，下一个行星与太阳的距离应依次为：196、388、772…………1846年，天文学家发现了海王星，按博德定律推算，它与太阳的距离应为388，但它与太阳的实际距离却是301，与388相差较大。但是到1930年天文学家又发现了冥王星，它离太阳的实际距离为396，却又与388十分接近。 

　　博德通过观察数列(3)而得到博德定律，遗憾的是，对开始几个离太阳较近的行星虽然适用，但最后它终于不适用于推算距太阳较远的行星。