无理数的觉醒——毕达哥拉斯的怒火

　　数与形，是人类最早认识世界的基础。因此，作为数的代表-整数与事物形状的代表-几何，就这样进入人们理性思辨的世界。 

　　第一次数学危机，就诞生在人们对整数和几何的认识之中。“根号2是否是有理数”这样一个问题，引起了古希腊先贤们的争论，并逐渐演变成一场巨大的风波，最终竟然引导古希腊的数学走向了一条截然不同的发展道路。 

　　公元前5世纪，古希腊的天才人物毕达哥拉斯（Pythagoras）创建了宗教、政治、学术合一的毕达哥拉斯学派。其主要的研究涵盖几何、算术、天文和音乐，并在其中追求宇宙和谐统一的规律。 

　　彼时，毕达哥拉斯学派对整数有着异乎寻常的信仰。他们发现，大自然很多事物都可以通过数量的大小和关系进行解释和说明。这种对整数的痴迷就来源于音乐的启迪。 

　　一次偶然的经历，毕达哥拉斯意识到音乐中音调的和谐完全由整数之比决定。音乐和数这看起来毫无关联的事物居然通过整数连接在了一起，这让毕达哥拉斯受到很大启发，并由此断言宇宙万物都可归结于整数或者整数之比（注：毕达哥拉斯时代的整数指代自然数）。这成了后来毕达哥拉斯学派的信条之一：一切事物都按照数来安排。具体而言，万物都是整数或者整数之比的和谐产物。进一步，宇宙的本质就在于整数的和谐。 

　　与此同时，数学历史上最伟大的定理之一——勾股定理——也诞生在毕达哥拉斯学派对几何学孜孜不倦的追求之中。所谓“勾股定理”，就是一个直角三角形三边长必须满足的数量关系，即斜边长的平方等于长与宽各自的平方之和。这与古代中国独立发现的“勾三股四弦五”的特例有异曲同工之妙。意外的是，这一成就毕达哥拉斯千古英名的定理却也成了该学派信仰的“掘墓人”。 

　　由于相信万物都是整数或者整数之比，那么两条几何线段长度之间的比值，其结果也必然是整数之比。这也意味着存在第三条线段，能同时量尽事先给定的两条线段。这种性质被毕达哥拉斯学派称为“可通约”。基于对整数的信条，他们认为任何两条线段都是可通约的。直到“不可通约量”的发现，终于引起了该学派巨大的信仰危机。这一“离经叛道”的结果，却是由毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）做出的。 

　　希帕索斯考虑一个边长为1的等腰直角三角形，根据勾股定理，其斜边长应该是“2的平方根”。如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的，那么直边和斜边应该是可通约的，因此存在一个有理数（即整数之比），恰好等于“根号2”。希帕索斯很快就证明，这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后，毕达哥拉斯进入了“两难”的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论，从而推翻他的数学与哲学的信条；要么违背理性的原则，坚决反对这一发现。左右为难之下，毕达哥拉斯将其视为学派的秘密，下令禁止传播这一结论。事情的发展还是超乎毕达哥拉斯的预料，希帕索斯最终将发现泄露出去，从而激怒了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯随后下令处死他的学生。希帕索斯最终为此付出生命的代价，将一腔热血献祭给了第一次数学危机。 

　　这一认识上的危机给古希腊的数学带来巨大的地震。为了维护学派的信仰，毕达哥拉斯认定类似于“根号2”这样的数是不可说、也无定形的数，其秘密属于众神的范畴，凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为“没有理性的数”，它们的存在即宣告了无理数的诞生。 

　　第一次数学危机持续了2000多年。公元前3世纪，毕达哥拉斯学派的欧多克斯(Eudoxus)试图通过在几何学中引进不可通约量的概念来解决它的矛盾。他认为，几何线段先天就存在着“可通约”和“不可通约”的限制，这在某种程度上大大拓展了人们对数的认识，也为无理数找到了存在的基础。直到1872年，德国数学家戴德金(Dedekind）从连续性的要求出发，通过有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的分析基础上，才揭开了无理数的神秘面纱，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了自古希腊时代就延续至今的数学史上的第一次大危机。