数学史上的几件大事

　　不管数学是什么，数学家在继续推展它的范围。最奇妙的，是新数学得到不能想像的应用。数学工作的主要目的，是了解新数学的性质，尤其是它与传统数学不同的地方。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学的有力而不可缺少的工具。 

　　兹举数学在历史上的若干进展为例： 

　　(一) 一本划时代的书是欧几里得 (Euclid，约300 BC) 的“几何原本”。它把空间的几何性质，从一组公理出发，用逻辑推得。欧书范围其实不限于几何。这本书把数学建为一项系统的学问，不再是一堆汇集的问题。历史上有一段时间，欧书也用来练习推理，成为一本通俗的教科书。 

　　(二) 欧书讨论的范围，限于平面上的直线、圆周、和空间的相当图形。等到Descartes(1596 -1650) 引进解析的方法，便可研究平面上由任意方程所定的曲线。几何的范围扩大了！ 但任意曲线或任意函数的研究要等Newton 和Leibniz创立了微积分，才特别有效。这个时期另一个重要的数学家是Fermat (1601-1665)。他同时发现了许多解析几何和微积分的观念，可惜他在生前未曾发表。 

　　(三) 微积分的一个基本新观念是无穷： 无穷大或无穷小。由无穷便引到极限。澄清这些观念不是一件容易的事，费了数学家约两百年的时间。它牵涉到实数系统、拓扑和数学的基础。一个关键的人物是Cantor  (1845- 1918)。他的点集论独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。 

　　(四) 数学上另一个基本概念是群。最早的问题是解代数方程，要把任意方程的根表为系数的只含根号的函数。要回答这个问题，需要群的观念。最先认清这个关系的，是法国的年轻数学家Galois (1811- 1832)。群的观念从此深人到每个数学领域。 

　　在几何方面有变换群。 欧氏空间的全体运动组成一个群。其他还有投影变换群，等角变换群等等。这种群是无限的，他的元素组成一个空间。他们都是李群的特例。创始人Lie(1842- 1899) 是挪威的数学家。 李群是数学上一个基本的概念。 

　　有限群的研究是很困难的。要了解它们的结构，数学家把它们分解为单群。但是单群并不“简单”：有许多极大的有限单群。当代领袖的代数学家说：有限的单群已经完全确定了。可是这个定理的证明，需要二千页，也还没有人把它完全写下来。 

　　(五) 上面说过，解析几何推广图形的范围。最普通的一个情形，是在n维空间Rn内，讨论一组方程式 

　　 这是一个极为丰富的课题。如果Fi是多项式，这是代数几何。高斯当年研究了n=3,m=1的情形，即欧氏空间的曲面论。他的一篇论文是微分几何奠基的文章。他注重于曲面的参数表示。这个想法引到流形的基本概念，在近代数学中占有中心的地位。